这份练习按题型识别编排，共 6 类，每类 5 题。做题时先判断题型，再写计算；点开解析前，先尝试把“为什么这样翻译”讲出来。
A. 向量线性运算与几何意义
题 1：首尾相接
在四边形 $ABCD$ 中，化简 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$。
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首尾相接：
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},
$$
再加 $\overrightarrow{CD}$：
$$
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
$$
所以结果为 $\overrightarrow{AD}$。
题 2：减法转位移
化简 $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$。
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$$
\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}
=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}
=\overrightarrow{BA}.
$$
也可以记成“终点减起点”：
$$
\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}.
$$
题 3：平行四边形法则
在平行四边形 $ABCD$ 中，已知 $\overrightarrow{AB}=\vec a,\overrightarrow{AD}=\vec b$，用 $\vec a,\vec b$ 表示 $\overrightarrow{AC}$。
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对角线 $\overrightarrow{AC}$ 等于从 $A$ 到 $B$ 再从 $B$ 到 $C$。平行四边形中 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b$，所以
$$
\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b.
$$
题 4：相反向量
已知 $\overrightarrow{AB}=3\vec p-2\vec q$，求 $\overrightarrow{BA}$。
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方向反过来就是相反向量：
$$
\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}
=-3\vec p+2\vec q.
$$
题 5：线性组合
已知 $\vec a=(2,-1),\vec b=(-3,4)$，求 $2\vec a-\vec b$。
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$$
2\vec a=(4,-2),
$$
所以
$$
2\vec a-\vec b=(4,-2)-(-3,4)=(7,-6).
$$
B. 共线与基底分解
题 6：坐标共线判定
已知 $\vec a=(3,6),\vec b=(1,2)$，判断 $\vec a,\vec b$ 是否共线。
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因为
$$
\vec a=3\vec b,
$$
所以二者共线。同样也可用
$$
3\cdot2-6\cdot1=0
$$
判断。
题 7：求共线参数
已知 $\vec a=(2,5),\vec b=(6,t)$，若 $\vec a\parallel\vec b$，求 $t$。
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共线条件：
$$
2t-5\cdot6=0.
$$
所以
$$
t=15.
$$
题 8：三点共线
已知 $A(1,2),B(3,6),C(4,8)$，判断 $A,B,C$ 是否共线。
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$$
\overrightarrow{AB}=(2,4),\qquad \overrightarrow{AC}=(3,6).
$$
因为
$$
\overrightarrow{AC}=\frac32\overrightarrow{AB},
$$
所以 $A,B,C$ 共线。
题 9：基底表示中点
在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 中点，设 $\overrightarrow{AB}=\vec a,\overrightarrow{AC}=\vec b$，求 $\overrightarrow{AM}$。
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从 $A$ 看，$B$ 的位置为 $\vec a$，$C$ 的位置为 $\vec b$。中点取平均：
$$
\overrightarrow{AM}=\frac12(\vec a+\vec b).
$$
题 10：分点表示
在 $\triangle ABC$ 中，点 $P$ 在 $BC$ 上，且 $BP:PC=2:1$。设 $\overrightarrow{AB}=\vec a,\overrightarrow{AC}=\vec b$，求 $\overrightarrow{AP}$。
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$P$ 把 $BC$ 按 $2:1$ 内分，靠近 $C$，所以位置是端点加权平均：
$$
\overrightarrow{AP}
=\frac{1\cdot\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{AC}}{3}
=\frac13\vec a+\frac23\vec b.
$$
检查：当 $BP:PC=2:1$ 时，$P$ 离 $C$ 更近，因此 $\vec b$ 权重大，结果合理。
C. 坐标运算与点的位置
题 11：向量坐标
已知 $A(-1,3),B(4,-2)$，求 $\overrightarrow{AB}$。
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终点减起点：
$$
\overrightarrow{AB}=(4-(-1),-2-3)=(5,-5).
$$
题 12：中点坐标
已知 $A(2,-1),B(8,5)$，求 $AB$ 中点 $M$ 的坐标。
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中点坐标取平均：
$$
M\left(\frac{2+8}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(5,2).
$$
题 13：重心坐标
已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点为 $A(1,2),B(4,-1),C(7,5)$，求重心 $G$。
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重心坐标为三个顶点坐标平均：
$$
G\left(\frac{1+4+7}{3},\frac{2-1+5}{3}\right)=(4,2).
$$
题 14：点的参数表示
已知 $A(1,1),B(7,4)$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\frac13\overrightarrow{AB}$，求 $P$。
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$$
\overrightarrow{AB}=(6,3),
$$
所以
$$
\overrightarrow{AP}=(2,1).
$$
因此
$$
P=A+\overrightarrow{AP}=(3,2).
$$
题 15：由向量求点
已知 $A(2,3)$，且 $\overrightarrow{AB}=(-5,4)$，求 $B$。
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$$
B=A+\overrightarrow{AB}=(2,3)+(-5,4)=(-3,7).
$$
D. 数量积、夹角与投影
题 16：数量积坐标公式
已知 $\vec a=(2,3),\vec b=(-1,4)$，求 $\vec a\cdot\vec b$。
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$$
\vec a\cdot\vec b=2\cdot(-1)+3\cdot4=10.
$$
题 17：夹角余弦
已知 $\vec a=(1,2),\vec b=(2,1)$，求两向量夹角的余弦值。
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$$
\vec a\cdot\vec b=4,\qquad |\vec a|=|\vec b|=\sqrt5.
$$
所以
$$
\cos\theta=\frac4{\sqrt5\sqrt5}=\frac45.
$$
题 18：垂直判定
已知 $\vec a=(3,-2),\vec b=(2,3)$，判断 $\vec a,\vec b$ 是否垂直。
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$$
\vec a\cdot\vec b=3\cdot2+(-2)\cdot3=0.
$$
数量积为 0，所以 $\vec a\perp\vec b$。
题 19：求垂直参数
已知 $\vec a=(m,2),\vec b=(4,-6)$，若 $\vec a\perp\vec b$，求 $m$。
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垂直等价于数量积为 0：
$$
4m+2\cdot(-6)=0.
$$
所以
$$
m=3.
$$
题 20：投影数量
已知 $\vec a=(3,4),\vec b=(1,0)$，求 $\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影数量。
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投影数量为
$$
\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}
=\frac{3}{1}=3.
$$
这表示 $\vec a$ 沿 $x$ 轴正方向的分量是 3。
E. 长度、垂直与最值
题 21：向量长度
已知 $\vec a=(6,8)$，求 $|\vec a|$。
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$$
|\vec a|=\sqrt{6^2+8^2}=10.
$$
题 22：长度平方展开
已知 $|\vec a|=2,|\vec b|=3,\vec a\cdot\vec b=1$，求 $|\vec a+\vec b|^2$。
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$$
|\vec a+\vec b|^2
=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)
=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2.
$$
代入得
$$
4+2+9=15.
$$
题 23：求参数使长度固定
已知 $\vec a=(t,1)$，若 $|\vec a|=\sqrt{10}$，求 $t$。
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$$
t^2+1=10,
$$
所以
$$
t=\pm3.
$$
题 24：垂直转方程
已知点 $A(1,0),B(5,2),C(3,t)$，若 $AB\perp AC$，求 $t$。
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$$
\overrightarrow{AB}=(4,2),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,t).
$$
垂直给出数量积为 0：
$$
4\cdot2+2t=0.
$$
所以
$$
t=-4.
$$
题 25：二次式最值
已知 $\vec a=(x,2)$，求 $|\vec a|^2$ 的最小值。
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$$
|\vec a|^2=x^2+4.
$$
当 $x=0$ 时最小，最小值为 4。
F. 向量与三角形综合
题 26：向量证明中线
在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 中点。证明
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.
$$
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由中点公式：
$$
\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).
$$
两边乘以 2，即得
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.
$$
题 27：重心向量
在 $\triangle ABC$ 中，$G$ 是重心。设原点为 $O$，证明
$$
\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}3.
$$
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重心坐标等于三个顶点坐标平均。把坐标平均写成位置向量形式，就是
$$
\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}3.
$$
这个公式不依赖坐标系选择，是仿射平均的向量表达。
题 28：三角形直角判断
已知 $A(0,0),B(3,1),C(1,7)$，判断 $\angle ABC$ 是否为直角。
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判断 $\angle ABC$，要看从 $B$ 出发的两个向量：
$$
\overrightarrow{BA}=(-3,-1),\qquad \overrightarrow{BC}=(-2,6).
$$
数量积为
$$
(-3)(-2)+(-1)6=0.
$$
所以 $\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{BC}$，即 $\angle ABC=90^\circ$。
题 29：三角形边长
已知 $A(1,1),B(5,4),C(2,5)$，求 $AB,AC$ 的长度，并判断 $AB$ 与 $AC$ 是否垂直。
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$$
\overrightarrow{AB}=(4,3),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,4).
$$
所以
$$
AB=5,\qquad AC=\sqrt{17}.
$$
数量积
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot1+3\cdot4=16\ne0.
$$
因此 $AB$ 与 $AC$ 不垂直。
题 30：向量与夹角
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{AB}=(2,1),\overrightarrow{AC}=(1,3)$，求 $\cos A$。
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$A$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角。
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot1+1\cdot3=5.
$$
$$
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt5,\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{10}.
$$
所以
$$
\cos A=\frac5{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.
$$
讲题任务
从本页任选 2 道题让学生讲解。讲解时必须说清楚：
- 这道题为什么可以用向量？
- 用的是几何向量、基底表示，还是坐标法？
- 哪个条件被翻译成了共线、垂直、长度或数量积？
- 如果题目里的点或参数改变，方法是否仍然成立？