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本地资料梳理
当前文件夹中和三角专题直接相关的资料有五组：
- 考点 13：三角函数定义。题组集中在终边相同角、角所在区域、终边点与三角函数值。
- 考点 14：同角三角函数。题组集中在公式直接运用、象限定符号、弦的齐次、参数范围。
- 考点 15：诱导公式及恒等变化。题组集中在诱导公式、终边直线、象限化简和恒等式化简。
- 考点 16：三角函数性质。题组集中在周期、定义域、单调性、对称性、图像变换、值域和参数。
- 考点 17：正余弦定理。题组集中在定理选择、边角互换、面积、外接圆、多解和取值范围。
这五组资料的共同特点是：小题不难，但很考“先识别对象”。三角函数题先判断是在处理角、函数图像、恒等式还是三角形；解三角形题先判断已知量结构，再决定正弦定理、余弦定理或面积公式。
方法补充
- 终边相同角：先在一个周期内描述，再加 $2k\pi$。如果区域跨过 $0$，要分两段写。
- 终边点定义：设终边上一点 $P(x,y)$，先算 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，再写 $\sin\alpha=\frac yr,\cos\alpha=\frac xr,\tan\alpha=\frac yx$。
- 同角关系：先用 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，再用象限定符号。不要只开平方不判符号。
- 弦的齐次：如果式子每一项都是同次，可以除以 $\cos^n\alpha$ 或 $\sin^n\alpha$，把问题转成 $\tan\alpha$。
- 诱导公式：不要只背“奇变偶不变”，要能解释为终边位置变化；符号由化简后角所在象限决定。
- 图像性质：令 $u=\omega x+\varphi$，先在 $u$ 上写标准函数的周期、单调、对称，再解回 $x$。
- 解三角形定理选择：两角一边优先正弦定理；两边夹角或三边优先余弦定理；面积出现“两边夹角”优先 $S=\frac12bc\sin A$。
- 边角互换：三角形中 $\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R$，所以正弦比可以转成边比。
- SSA 多解：已知 $A,a,b$ 时，由 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ 得到的 $B$ 可能有两个候选，必须检查 $A+B<180^\circ$。
A. 终边相同角、象限与区域
题 1：终边相同角
写出与 $-\frac{7\pi}{6}$ 终边相同的所有角，并指出它在 $[0,2\pi)$ 内的代表角。
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终边相同角相差 $2\pi$ 的整数倍：
$$
\alpha=-\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.
$$
把 $-\frac{7\pi}{6}$ 加上 $2\pi$：
$$
-\frac{7\pi}{6}+2\pi=\frac{5\pi}{6}.
$$
所以在 $[0,2\pi)$ 内的代表角是
$$
\frac{5\pi}{6}.
$$
题 2：象限角范围
写出第二象限角 $\alpha$ 的一般形式。
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第二象限对应一个周期内
$$
\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.
$$
加上周期 $2k\pi$，得到
$$
\frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.
$$
题 3：终边在直线上
角 $\alpha$ 的终边在直线 $y=x$ 上，且终边位于第三象限。写出 $\alpha$ 的一般形式。
查看解析
直线 $y=x$ 上有两条终边方向：第一象限方向为 $\frac{\pi}{4}$，第三象限方向为
$$
\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}.
$$
所以
$$
\alpha=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.
$$
题 4：区域描述
若角 $\alpha$ 的终边落在从 $30^\circ$ 到 $120^\circ$ 的区域内，包含边界，用弧度制写出 $\alpha$ 的范围。
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先把角度化成弧度：
$$
30^\circ=\frac{\pi}{6},\qquad 120^\circ=\frac{2\pi}{3}.
$$
一个周期内的范围为
$$
\frac{\pi}{6}\le \alpha\le \frac{2\pi}{3}.
$$
所有角为
$$
\frac{\pi}{6}+2k\pi\le \alpha\le \frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.
$$
B. 三角函数定义与终边点
题 5：终边点直接求值
角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(3,-4)$，求 $\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha$。
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先算
$$
r=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5.
$$
由定义：
$$
\sin\alpha=\frac yr=-\frac45,\qquad
\cos\alpha=\frac xr=\frac35,\qquad
\tan\alpha=\frac yx=-\frac43.
$$
题 6：由正弦值反求坐标参数
角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-5,m)$，且 $\sin\alpha=\frac{12}{13}$。求 $m$。
查看解析
因为
$$
\sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{25+m^2}}=\frac{12}{13}.
$$
正弦为正，且 $x=-5<0$，终边在第二象限，所以 $m>0$。
平方：
$$
\frac{m^2}{25+m^2}=\frac{144}{169}.
$$
整理：
$$
169m^2=144(25+m^2),
$$
$$
25m^2=3600,
$$
所以
$$
m=12.
$$
题 7：由正切值补全正余弦
已知 $\tan\alpha=-\frac34$，且 $\alpha$ 是第二象限角，求 $\sin\alpha,\cos\alpha$。
查看解析
第二象限中 $\sin\alpha>0,\cos\alpha<0$。由
$$
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac34
$$
可设
$$
\sin\alpha=3t,\qquad \cos\alpha=-4t,\qquad t>0.
$$
代入平方关系：
$$
9t^2+16t^2=1,
$$
所以 $t=\frac15$。因此
$$
\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=-\frac45.
$$
题 8：定义法求组合值
角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-2,1)$，求 $2\sin\alpha-\cos\alpha$。
查看解析
$$
r=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt5.
$$
所以
$$
\sin\alpha=\frac1{\sqrt5},\qquad
\cos\alpha=-\frac2{\sqrt5}.
$$
代入：
$$
2\sin\alpha-\cos\alpha
=\frac2{\sqrt5}+\frac2{\sqrt5}
=\frac4{\sqrt5}.
$$
C. 同角关系与弦的齐次
题 9：由余弦求正弦和正切
已知 $\cos\alpha=-\frac5{13}$，且 $\alpha$ 是第三象限角，求 $\sin\alpha,\tan\alpha$。
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第三象限中正弦、余弦都为负，正切为正。
$$
\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha
=1-\frac{25}{169}
=\frac{144}{169}.
$$
因此
$$
\sin\alpha=-\frac{12}{13}.
$$
所以
$$
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
=\frac{-12/13}{-5/13}
=\frac{12}{5}.
$$
题 10：齐次式求值
已知 $\tan\alpha=3$，求
$$
\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}.
$$
查看解析
分子分母都是一次齐次式，除以 $\cos\alpha$：
$$
\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}
=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}.
$$
代入 $\tan\alpha=3$：
$$
\frac{3+1}{3-1}=2.
$$
题 11：由和求积
已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac13$，求 $\sin\alpha\cos\alpha$。
查看解析
两边平方：
$$
(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\frac19.
$$
展开：
$$
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac19.
$$
所以
$$
1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac19.
$$
因此
$$
\sin\alpha\cos\alpha=-\frac49.
$$
题 12：由差求二倍角
已知 $\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$，求 $\sin2\alpha$。
查看解析
两边平方：
$$
(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac12.
$$
展开：
$$
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac12.
$$
所以
$$
1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac12,
$$
得到
$$
2\sin\alpha\cos\alpha=\frac12.
$$
而
$$
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,
$$
所以
$$
\sin2\alpha=\frac12.
$$
D. 诱导公式与恒等化简
题 13：诱导公式求值
已知 $\sin\alpha=\frac13$，求
$$
\sin(\pi+\alpha)+\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right).
$$
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分别化简：
$$
\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,
$$
$$
\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha.
$$
所以原式为
$$
-2\sin\alpha=-\frac23.
$$
题 14：终边直线与诱导
角 $\alpha$ 的终边在直线 $y=-x$ 上，且 $\alpha$ 在第四象限。求 $\tan(\pi-\alpha)$。
查看解析
直线 $y=-x$ 在第四象限对应方向角为
$$
\frac{7\pi}{4}.
$$
所以
$$
\tan\alpha=-1.
$$
又
$$
\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha,
$$
因此
$$
\tan(\pi-\alpha)=1.
$$
题 15：带象限的根式化简
已知 $\alpha$ 是第四象限角，化简
$$
\sqrt{(1-\sin\alpha)^2}+\sqrt{(1+\cos\alpha)^2}.
$$
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第四象限中
$$
\sin\alpha<0,\qquad \cos\alpha>0.
$$
所以
$$
1-\sin\alpha>0,\qquad 1+\cos\alpha>0.
$$
因此
$$
\sqrt{(1-\sin\alpha)^2}=1-\sin\alpha,
$$
$$
\sqrt{(1+\cos\alpha)^2}=1+\cos\alpha.
$$
原式为
$$
2-\sin\alpha+\cos\alpha.
$$
题 16：恒等化简
化简
$$
\frac{1-\cos2x}{\sin2x}.
$$
查看解析
使用二倍角：
$$
1-\cos2x=2\sin^2x,
$$
$$
\sin2x=2\sin x\cos x.
$$
所以
$$
\frac{1-\cos2x}{\sin2x}
=\frac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}
=\tan x.
$$
这里默认分母有意义，即 $\sin2x\ne0$。
E. 三角函数性质：周期、定义域、单调、对称
题 17：正弦型周期
求函数
$$
y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)
$$
的最小正周期。
查看解析
对 $y=\sin(\omega x+\varphi)$，周期为
$$
T=\frac{2\pi}{|\omega|}.
$$
本题中 $\omega=2$，所以
$$
T=\pi.
$$
题 18：正切型周期
求函数
$$
y=\tan\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)
$$
的最小正周期。
查看解析
正切函数本身周期为 $\pi$。对 $y=\tan(\omega x+\varphi)$，
$$
T=\frac{\pi}{|\omega|}.
$$
所以
$$
T=\frac{\pi}{3}.
$$
题 19：定义域
求函数
$$
y=\sqrt{2\sin x-1}
$$
在 $[0,2\pi]$ 上的定义域。
查看解析
根式要求
$$
2\sin x-1\ge0,
$$
即
$$
\sin x\ge\frac12.
$$
在 $[0,2\pi]$ 上，
$$
\sin x\ge\frac12
$$
对应
$$
x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right].
$$
题 20：单调区间
求函数
$$
y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)
$$
的单调递增区间。
查看解析
令
$$
u=2x-\frac{\pi}{3}.
$$
$\sin u$ 的递增区间为
$$
-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le u\le \frac{\pi}{2}+2k\pi.
$$
代回：
$$
-\frac{\pi}{2}+2k\pi
\le 2x-\frac{\pi}{3}
\le \frac{\pi}{2}+2k\pi.
$$
两边加 $\frac{\pi}{3}$ 后除以 2：
$$
-\frac{\pi}{12}+k\pi
\le x\le
\frac{5\pi}{12}+k\pi.
$$
所以递增区间为
$$
\left[-\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{5\pi}{12}+k\pi\right],\qquad k\in\mathbb Z.
$$
F. 图像变换、值域与参数
题 21：对称中心
求函数
$$
y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)
$$
的对称中心。
查看解析
$\sin u$ 的对称中心为
$$
(u,y)=(k\pi,0).
$$
令
$$
2x-\frac{\pi}{3}=k\pi,
$$
得到
$$
x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}.
$$
所以对称中心为
$$
\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},0\right),\qquad k\in\mathbb Z.
$$
题 22：对称轴
求函数
$$
y=\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)
$$
的对称轴。
查看解析
$\cos u$ 的对称轴为
$$
u=k\pi.
$$
令
$$
2x+\frac{\pi}{4}=k\pi,
$$
得到
$$
x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}.
$$
所以对称轴为
$$
x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb Z.
$$
题 23：最值
求函数
$$
y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1
$$
的最大值与最小值。
查看解析
因为
$$
-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le1,
$$
所以
$$
-2\le2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le2.
$$
加 1 得
$$
-1\le y\le3.
$$
最大值为 $3$，最小值为 $-1$。
题 24：换元值域
求函数
$$
y=\sin^2x-2\sin x
$$
的值域。
查看解析
令
$$
t=\sin x,\qquad -1\le t\le1.
$$
则
$$
y=t^2-2t=(t-1)^2-1.
$$
在 $[-1,1]$ 上，最小值在 $t=1$ 处取得，为
$$
-1.
$$
最大值比较端点：
$$
t=-1\Rightarrow y=3,\qquad t=1\Rightarrow y=-1.
$$
所以值域为
$$
[-1,3].
$$
G. 正余弦定理选择、面积与外接圆
题 25：两角一边
在 $\triangle ABC$ 中，$A=45^\circ,B=75^\circ,a=\sqrt2$，求 $b$。
查看解析
两角一边，且有边角对应，优先正弦定理：
$$
\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}.
$$
因为
$$
\frac{\sqrt2}{\sin45^\circ}
=\frac{\sqrt2}{\sqrt2/2}=2,
$$
所以
$$
b=2\sin75^\circ.
$$
又
$$
\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},
$$
因此
$$
b=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}.
$$
题 26：两边夹角
在 $\triangle ABC$ 中，$a=5,b=7,C=60^\circ$，求 $c$。
查看解析
已知两边及夹角，优先余弦定理：
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.
$$
代入：
$$
c^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\frac12=39.
$$
所以
$$
c=\sqrt{39}.
$$
题 27：面积公式
在 $\triangle ABC$ 中，$a=4,b=6,C=30^\circ$，求面积。
查看解析
面积公式：
$$
S=\frac12ab\sin C.
$$
代入：
$$
S=\frac12\cdot4\cdot6\cdot\sin30^\circ
=12\cdot\frac12=6.
$$
题 28：外接圆半径
在 $\triangle ABC$ 中，$A=30^\circ,a=4$，求外接圆半径 $R$ 以及外接圆面积。
查看解析
正弦定理给出
$$
\frac a{\sin A}=2R.
$$
所以
$$
2R=\frac4{\sin30^\circ}=\frac4{1/2}=8.
$$
因此
$$
R=4.
$$
外接圆面积为
$$
\pi R^2=16\pi.
$$
H. 边角互换、多解与范围
题 29：正弦比判断形状
在 $\triangle ABC$ 中，
$$
\sin A:\sin B:\sin C=3:4:5.
$$
判断三角形形状。
查看解析
由正弦定理，
$$
a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=3:4:5.
$$
因为
$$
3^2+4^2=5^2,
$$
所以三角形为直角三角形，且最大边 $c$ 对应的角 $C=90^\circ$。
题 30：SSA 两解
在 $\triangle ABC$ 中，$A=30^\circ,a=5,b=6$。判断三角形个数。
查看解析
由正弦定理：
$$
\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin A}{a},
$$
所以
$$
\sin B=\frac{b\sin A}{a}
=\frac{6\cdot\frac12}{5}
=\frac35.
$$
在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 内，满足 $\sin B=\frac35$ 的角有两个：一个锐角 $B_1$，一个钝角 $B_2=180^\circ-B_1$。
还要检查 $A+B<180^\circ$。因为 $B_1<90^\circ$，显然满足；$B_2<180^\circ$ 且约为 $143^\circ$，所以
$$
30^\circ+B_2<180^\circ.
$$
两个候选都成立，因此有两个三角形。
题 31：SSA 无解
在 $\triangle ABC$ 中，$A=30^\circ,a=4,b=10$。判断三角形是否存在。
查看解析
由正弦定理：
$$
\sin B=\frac{b\sin A}{a}
=\frac{10\cdot\frac12}{4}
=\frac54.
$$
但正弦值不可能大于 1，所以不存在这样的三角形。
题 32：投影恒等式
在 $\triangle ABC$ 中，证明
$$
b\cos C+c\cos B=a.
$$
查看解析
这道题可以理解为“两个投影相加等于底边”，也可以用余弦定理代数证明。
由余弦定理：
$$
\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},
$$
所以
$$
b\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}.
$$
同理
$$
c\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}.
$$
相加：
$$
b\cos C+c\cos B
=\frac{a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2}{2a}
=a.
$$
使用建议
- A、B 两组适合作为三角函数第一讲后的口算复习。
- C、D 两组适合训练“符号、象限、齐次”的严谨性。
- E、F 两组适合讲三角函数性质后布置，要求学生每题先说 $u=\omega x+\varphi$ 的标准问题是什么。
- G、H 两组适合解三角形课堂讲评，尤其要让学生口头判断定理选择和是否存在多解。