这一部分应当训练学生的判断力：先看已知量是什么结构，再选择定理，而不是见到三角形就随手套公式。
研究对象
设 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。基本条件是
$$
A+B+C=\pi,\qquad a,b,c>0.
$$
任何一步计算都要同时检查三件事：
- 边角是否对应正确；
- 角的范围是否合理；
- 三角形是否存在或是否可能多解。
核心知识结构
1. 记号系统：先把边角对应钉死
标准记号是
$$
a\leftrightarrow A,\qquad b\leftrightarrow B,\qquad c\leftrightarrow C.
$$
很多错误并不是不会公式，而是把 $a$ 当成 $B$ 的对边，或者把面积公式中的夹角拿错。课堂上可以要求学生每道题先写：
$$
\text{已知量：}\quad \cdots,\qquad
\text{要求量：}\quad \cdots
$$
再判断它属于哪种已知结构。
2. 正弦定理：有一对边角对应时建立比例
正弦定理为
$$
\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,
$$
其中 $R$ 为外接圆半径。
它可以从外接圆弦长理解：边 $a=BC$ 是外接圆中圆心角 $2A$ 所对的弦，因此
$$
a=2R\sin A.
$$
同理
$$
b=2R\sin B,\qquad c=2R\sin C.
$$
所以得到正弦定理。它的常见入口是：
- 已知两角一边；
- 已知两边和其中一边的对角；
- 需要把边的比例转成角的正弦比例；
- 题目出现外接圆半径 $R$。
正弦定理的危险点是：由 $\sin B$ 求 $B$ 时，可能有锐角和钝角两个候选。
3. 余弦定理：夹角、三边和锐钝判断
余弦定理为
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.
$$
它也可以从向量内积理解。因为
$$
\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC},
$$
平方长度展开时会出现内积项，而内积项带来 $\cos A$。余弦定理本质上是勾股定理在非直角三角形中的推广。
它的常见入口是：
- 已知两边及夹角，求第三边；
- 已知三边，求角；
- 判断角是锐角、直角还是钝角；
- 处理没有已知边角对应的一类题。
若由三边求角，可用
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.
$$
若 $\cos A>0$，则 $A$ 为锐角；若 $\cos A=0$，则 $A$ 为直角；若 $\cos A<0$，则 $A$ 为钝角。
4. 面积公式：把“边边角”转成面积
三角形面积公式：
$$
S=\frac12bc\sin A
=\frac12ca\sin B
=\frac12ab\sin C.
$$
它来自“底乘高除以二”。例如取 $b,c$ 为两边，夹角为 $A$，则高为 $c\sin A$ 或 $b\sin A$，所以
$$
S=\frac12bc\sin A.
$$
常见联动：
- 已知两边夹角，直接求面积；
- 已知面积和两边，反求夹角正弦；
- 结合余弦定理求边，再求面积；
- 结合正弦定理把面积写成边或角的函数。
5. 边角互换：把三角函数式翻译成边的语言
在三角形中，角和边不是孤立的。正弦定理给出
$$
\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.
$$
所以在很多题里，可以把
$$
\sin A:\sin B:\sin C
$$
直接换成
$$
a:b:c.
$$
例如若题目给
$$
\sin A=2\sin B,
$$
则可转为
$$
a=2b.
$$
再结合余弦定理、面积公式或三角形不等式继续处理。这就是“边角互换”的核心。
6. SSA 多解：为什么会有 0、1、2 个三角形
SSA 指已知两边和其中一边的对角，例如已知 $A,a,b$。由正弦定理：
$$
\sin B=\frac{b\sin A}{a}.
$$
如果 $0<\sin B<1$，则 $B$ 可能有两个候选：
$$
B_1=\arcsin\left(\frac{b\sin A}{a}\right),
\qquad
B_2=\pi-B_1.
$$
但每个候选都必须检查
$$
A+B<\pi.
$$
也可以用高来判断。若 $A$ 为锐角，令
$$
h=b\sin A.
$$
则：
- $a<h$：无解；
- $a=h$：一解，且出现直角；
- $h<a<b$：两解；
- $a\ge b$：一解。
若 $A$ 为钝角，则只有当 $a>b$ 时可能一解，否则无解。
7. 形状判断、取值范围与综合题
解三角形后半段常见综合目标有三类：
- 形状判断：等腰、直角、等边、锐角、钝角。
- 取值范围：面积、边长、比值、角度范围。
- 几何综合：中线、角平分线、外接圆、实际测量、向量投影。
形状判断常用翻译：
- $a=b$ 等价于 $A=B$；
- $a^2+b^2=c^2$ 表示 $C=90^\circ$；
- $a^2+b^2<c^2$ 表示 $C$ 为钝角；
- $\sin A=\sin B$ 在三角形中可推出 $A=B$，从而 $a=b$。
取值范围题的基本策略是：先用定理把目标化成一个变量，再利用角范围、三角形不等式或基本不等式求范围。
方法识别
解三角形题的第一步不是计算，而是识别已知结构。下面的算法可以作为课堂板书，也可以作为学生讲题时的自查清单。
定理选择算法
看到题目后，先不要算，先分类：
- 两角一边：优先用正弦定理，因为角和能补第三角，并且已有边角对应。
- 两边夹角：优先用余弦定理或面积公式，因为夹角会触发 $\cos$ 或 $\sin$。
- 三边：优先用余弦定理，因为可直接求角或判断锐钝。
- 两边和非夹角：可用正弦定理，但必须检查 SSA 多解，因为由正弦值反求角可能不唯一。
- 出现面积：先找面积公式，再联动正余弦定理，因为面积需要两边夹角或等价信息。
- 出现 $\sin A,\sin B$ 比例：优先边角互换，因为正弦定理可把正弦比例换成边比例。
- 问形状或范围：先翻译，再判断，不要直接套单一公式。
失败信号：
- 不写边角对应，直接代公式；
- 已知两边一角就默认唯一；
- 由 $\sin B$ 反求 $B$ 时漏掉钝角；
- 面积公式选的角不是两边夹角；
- 余弦定理算出 $\cos A$ 后不检查范围；
- 取值范围题中忘记角必须在 $(0,\pi)$ 内。
典型例题
例 1：两角一边
在 $\triangle ABC$ 中，$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，$a=6$，求 $b$。
解：已有一对边角对应 $(a,A)$，用正弦定理：
$$
\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}.
$$
所以
$$
b=6\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}
=6\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}
=3\sqrt6.
$$
例 2：两边夹角
在 $\triangle ABC$ 中，$b=5$，$c=7$，$A=60^\circ$，求 $a$。
解：已知两边及夹角，用余弦定理：
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
=25+49-70\cdot\frac12
=39.
$$
所以
$$
a=\sqrt{39}.
$$
例 3：三边求角并判断形状
三角形三边为 $4,5,6$，求最大角的余弦值，并判断最大角的锐钝性。
解：最大角对最大边 $6$。设最大角为 $C$，则
$$
\cos C=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot4\cdot5}
=\frac{16+25-36}{40}
=\frac18.
$$
因为 $\cos C>0$，所以最大角为锐角，此三角形为锐角三角形。
例 4：面积联动
在 $\triangle ABC$ 中，$a=8$，$b=6$，$C=30^\circ$，求面积。
解：角 $C$ 是边 $a,b$ 的夹角，所以
$$
S=\frac12ab\sin C
=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\frac12
=12.
$$
例 5：边角互换
在 $\triangle ABC$ 中，若
$$
\sin A=2\sin B,\qquad C=60^\circ,\qquad b=3,
$$
求 $a$。
解：由正弦定理，$\sin A:\sin B=a:b$。所以
$$
a=2b=6.
$$
这里不需要先求角 $A,B$，关键是把正弦比例翻译成边长比例。
例 6：SSA 多解
在 $\triangle ABC$ 中，$A=30^\circ$，$a=6$，$b=9$。判断可能有几个三角形。
解：由正弦定理
$$
\sin B=\frac{b\sin A}{a}
=\frac{9\cdot\frac12}{6}
=\frac34.
$$
因此 $B$ 可能为
$$
B_1=\arcsin\frac34,\qquad
B_2=\pi-\arcsin\frac34.
$$
因为 $A=30^\circ$，两个候选都需要检查 $A+B<180^\circ$。这里两个候选都满足，所以有两个三角形。
自我训练
下面的训练按“定理选择、面积与边角互换、多解与范围”分层。每题解析都刻意写出为什么选这条路，方便学生用费曼讲题法复述。
分层题型训练
A. 正余弦定理选择
训练 1
在 $\triangle ABC$ 中，$A=30^\circ$，$B=45^\circ$，$a=4$，求 $b$。
查看解析
两角一边，有边角对应 $(a,A)$，用正弦定理：
$$
b=a\frac{\sin B}{\sin A}
=4\cdot\frac{\sqrt2/2}{1/2}
=4\sqrt2.
$$
训练 2
在 $\triangle ABC$ 中，$b=3$，$c=4$，$A=60^\circ$，求 $a$。
查看解析
两边夹角，用余弦定理：
$$
a^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\frac12=13.
$$
所以 $a=\sqrt{13}$。
训练 3
三角形三边为 $5,6,7$，求最大角的余弦值。
查看解析
最大角对最大边 $7$。设最大角为 $C$，则
$$
\cos C=\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6}
=\frac{25+36-49}{60}
=\frac15.
$$
训练 4
在 $\triangle ABC$ 中，$a=10$，$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，求 $b$。
查看解析
用正弦定理：
$$
b=10\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}
=10\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}
=5\sqrt6.
$$
B. 面积与边角互换
训练 5
在 $\triangle ABC$ 中，$a=5$，$b=6$，$C=120^\circ$，求面积。
查看解析
$C$ 是边 $a,b$ 的夹角，所以
$$
S=\frac12ab\sin C
=\frac12\cdot5\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}
=\frac{15\sqrt3}{2}.
$$
训练 6
在 $\triangle ABC$ 中，$b=4$，$c=5$，面积 $S=5\sqrt3$，求 $\sin A$。
查看解析
由
$$
S=\frac12bc\sin A
$$
得
$$
5\sqrt3=\frac12\cdot4\cdot5\sin A=10\sin A.
$$
所以
$$
\sin A=\frac{\sqrt3}{2}.
$$
注意这只确定了正弦值，若继续求 $A$，还要检查 $A=60^\circ$ 或 $120^\circ$ 的可能。
训练 7
在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A:\sin B:\sin C=3:4:5$，判断三角形形状。
查看解析
由正弦定理，
$$
a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=3:4:5.
$$
因为
$$
3^2+4^2=5^2,
$$
所以该三角形为直角三角形，且 $C=90^\circ$。
训练 8
在 $\triangle ABC$ 中，$\sin A=2\sin B$，$b=4$，求 $a$。
查看解析
由正弦定理，$\sin A:\sin B=a:b$，所以
$$
a:b=2:1.
$$
又 $b=4$，故
$$
a=8.
$$
C. 多解、形状与范围
训练 9
在 $\triangle ABC$ 中，$A=30^\circ$，$a=4$，$b=10$。这样的三角形是否存在？
查看解析
由正弦定理，
$$
\sin B=\frac{b\sin A}{a}
=\frac{10\cdot\frac12}{4}
=\frac54>1.
$$
正弦值不能大于 1，所以不存在这样的三角形。
训练 10
在 $\triangle ABC$ 中，$A=30^\circ$，$a=5$，$b=6$。判断三角形个数。
查看解析
令
$$
h=b\sin A=6\cdot\frac12=3.
$$
因为 $A$ 为锐角，且
$$
h<a<b,\qquad 3<5<6,
$$
所以存在两个三角形。
训练 11
在 $\triangle ABC$ 中，若
$$
a^2=b^2+c^2,
$$
判断三角形形状。
查看解析
由余弦定理
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.
$$
与 $a^2=b^2+c^2$ 比较，得
$$
-2bc\cos A=0.
$$
因为 $b,c>0$，所以 $\cos A=0$，即 $A=90^\circ$。三角形为直角三角形。
训练 12
在锐角 $\triangle ABC$ 中，$a=2$，$b=3$，求 $c$ 的取值范围。
查看解析
锐角三角形中，最大边的平方小于另外两边平方和。
首先由三角形不等式：
$$
1<c<5.
$$
又因为 $b=3$ 是已知两边中较大者，要使角 $B$ 为锐角，需要
$$
b^2<a^2+c^2,
$$
即
$$
9<4+c^2,\qquad c>\sqrt5.
$$
若 $c$ 成为最大边，还需
$$
c^2<a^2+b^2=13,\qquad c<\sqrt{13}.
$$
综合得
$$
\sqrt5<c<\sqrt{13}.
$$
费曼讲题任务
让学生从训练 3、训练 6、训练 9、训练 12 中任选一题讲解。你重点追问：
- 这题的已知结构是什么？两角一边、两边夹角、三边，还是 SSA？
- 为什么这一步选正弦定理、余弦定理或面积公式？
- 有没有多解、无解或三角形不存在的可能？
- 如果把“锐角三角形”改成“一般三角形”，答案会不会变？