函数

这棵树的逻辑

1. 先确认对象：函数的定义域是什么，输出可以取得哪些值，解析式、表格和图像是否描述同一个对应关系。
2. 再研究整体形状：单调、奇偶、周期、对称、最值和零点，回答函数在一个区间或整个定义域上如何变化。
3. 最后研究局部变化：导数把平均变化率推进到瞬时变化率；切线、速度、单调性和极值都由此得到更深的解释。

因此，导数不是与函数并列的一门孤立知识，而是函数专题中“局部变化与微分”的一支。

当前学习入口

1. 函数总览：对象、表示、定义域和值域
2. 函数性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性与零点（即将补齐）
3. 基本初等函数与图像变换（即将补齐）
4. 导数：前世今生、定义与基本初等函数求导公式的推导
5. 导数：切线、单调极值、参数、不等式与零点

三种表示法必须互相翻译

1. 解析式告诉我们可以代入什么、可以化简什么；但化简后不能忘记原定义域。
2. 图像直接呈现增减、零点、对称和局部形状；但图像读出的结论要能回到解析式或定义中验证。
3. 表格把函数理解为一组输入输出对应；它特别适合说明“每个输入只有一个输出”，也适合捕捉离散变化。

例如 $f(x)=\sqrt{x-1}$ 的根式要求 $x-1\ge0$，故定义域为 $[1,+\infty)$；函数值非负，故值域为 $[0,+\infty)$。这两条结论来自函数对象本身，而非图像大致看起来“从右上角开始”。

学习顺序

1. 先用函数基础建立定义域和值域意识。
2. 再用性质与图像训练“整体观察”：单调、奇偶、周期、对称与零点。
3. 学完基本初等函数后进入导数：平均变化率、极限、切线和基本求导公式。
4. 再用导数重访函数整体结构，处理单调、极值、最值、参数范围、不等式和零点个数。

费曼复述卡

1. 为什么“导数”必须依附于一个函数与一个具体自变量位置？
2. 为什么图像、解析式和表格不是三套知识，而是同一函数的三种语言？
3. 解释“导数研究局部变化，却能帮助判断整体单调性”这一句中间缺少了哪一个定理。